2013年高考压轴题
21.（本小题满分12分）
已知函数 。
（Ⅰ）设 是 的极值点，求 ，并讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明 。
参考答案与解析
（Ⅰ）求 并讨论单调性
$f’(x) = e^x - \dfrac{1}{x+m}$，由于 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的极值点，由于 $f(x)$ 在 $(-m, + \infty)$ 范围为连续函数，因此有 $f’(0) = 0$, 此时:
可以解得 $m = 1$，此时我们可以知道 $f’(x) = e^x - \dfrac{1}{x+1}$，此时我们可以知道：
- 当满足 $x \in(-1, 0)$ 时，$f’(x) < 0$, 此时 $f(x)$ 单调递减；
- 当满足 $x \in (0,+\infty)$ 时， $f’(x)$ > 0, 此时 $f(x)$ 单调递增；
综上：， 在 上单调递减，在 上单调递增。
（Ⅱ）证明：当 时，
根据题一可以知道 $f’(x) = e^x - \dfrac{1}{x+m}$，由于 $x$ 的取值范围为 $x \ge -m$，我们知道 $\ln (x + m)$ 在取值范围 $(-m,+\infty)$ 为递增函数，因此 $\ln(x + m) \le \ln(x + 2)$，因此我们可以知道 $f(x) = e^x - \ln(x+m) \ge e^x -\ln(x+2)$，此时我们只需要证明 $g(x) = e^x - \ln(x + 2)$ 在 $(-m,+ \infty)$ 上满足 $g(x) > 0$ ，则原结论即可得到证明；
我们知道 $g’(x) = e^x - \dfrac{1}{x+2}$，我们令 $g’(x) = 0$，即可得到 $e^x = \dfrac{1}{x+2}$，设其根为 $x_0$, 即此时满足 $e^{x_0} = \dfrac{1}{x_0 + 2}$，对两边取对数可得: $x_0 = -\ln(x_0 + 2)$
此时可以知道函数 $g(x)$ 的单调性为：
- 当 $x \in (-m, x_0)$ 时，$g(x)$ 递减；
- 当 $x \in (x_0, + \infty)$ 时，$g(x)$ 递增；
此时我们知道 $g(x_0) = e^{x_0} - \ln(x_0 + 2) = \dfrac{1}{x_0 + 2} + x_0 = \dfrac{(1+x_0)^2}{x_0 + 2}$, 由于 $m \le 2$，因此 $x_0 + 2 > 0$，此时则有 $g(x_0) > 0$，此时此时即可得到 $g(x)$ 在给定范围 $(-m, + \infty)$ 满足 $g(x) \ge g(x_0) > 0$，此时 $f(x) \ge g(x) > 0$；
综上：当 时， 恒成立，证毕。