2011年高考压轴题

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2011年高考考后抽题

已知函数

$$f(x) = \frac{a \ln x}{x+1} + \frac{b}{x},$$

曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x + 2y - 3 = 0$。

(1) 求 $a, b$ 的值；

(2) 如果当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时，$f(x) > \frac{\ln x}{x-1} + \frac{k}{x}$，求 $k$ 的取值范围。

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解析

(1) 由题意，$f(1) = b$。

对 $f(x)$ 求导得：

$$f'(x) = \frac{a\left(\frac{x+1}{x} - \ln x\right)}{(x+1)^2} - \frac{b}{x^2}.$$

切线斜率为 $-\frac{1}{2}$，即

$$f'(1) = \frac{a}{2} - b = -\frac{1}{2}.$$

又切线过点 $(1, b)$，代入切线方程 $1 + 2b - 3 = 0$，得

$$b = 1.$$

代入斜率式得

$$\frac{a}{2} - 1 = -\frac{1}{2},$$

所以

$$a = 1.$$

因此：

$$\boxed{a = 1, \quad b = 1}.$$

(2) 由 (1) 知 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x+1} + \dfrac{1}{x}$。当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时，

$$\frac{\ln x}{x+1} + \frac{1}{x} > \frac{\ln x}{x-1} + \frac{k}{x}.$$

两边同乘 $x$（$x > 0$，不等号方向不变）：

$$\frac{x\ln x}{x+1} + 1 > \frac{x\ln x}{x-1} + k.$$

移项整理：

$$k < 1 + x\ln x\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right) = 1 - \frac{2x\ln x}{x^2-1}.$$

令 $g(x) = 1 - \dfrac{2x\ln x}{x^2-1}$，则原不等式等价于 $k < g(x)$ 对一切 $x > 0, x \neq 1$ 恒成立，即 $k \leqslant \inf g(x)$。

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引入辅助函数 $\varphi(x) = \ln x - \dfrac{x^2-1}{2x}\;(x > 0)$，求导：

$$\varphi'(x) = \frac{1}{x} - \frac{x^2+1}{2x^2} = -\frac{(x-1)^2}{2x^2} \leqslant 0,$$

故 $\varphi(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格单调递减，且 $\varphi(1) = 0$。

• 当 $0 < x < 1$ 时，$\varphi(x) > 0$，即 $\ln x > \dfrac{x^2-1}{2x}$。因 $x^2-1 < 0$，两边同除负数得 $\dfrac{2x\ln x}{x^2-1} < 1$；
• 当 $x > 1$ 时，$\varphi(x) < 0$，即 $\ln x < \dfrac{x^2-1}{2x}$。因 $x^2-1 > 0$，直接得 $\dfrac{2x\ln x}{x^2-1} < 1$。

故 $\dfrac{2x\ln x}{x^2-1} < 1$ 恒成立，即 $g(x) > 0$。又由洛必达法则：

$$\lim_{x\to 1} \frac{2x\ln x}{x^2-1} = \lim_{x\to 1} \frac{2\ln x + 2}{2x} = 1,$$

所以 $\inf g(x) = 1 - 1 = 0$。因此 $k < g(x)$ 恒成立当且仅当 $k \leqslant 0$。

$$\boxed{(-\infty, \, 0]}.$$

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答案

(1) $a = 1$, $b = 1$；

(2) $k \in (-\infty, 0]$.