2012年高考压轴题

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2012年湖北高考理科数学第22题

已知函数

$$f(x)=rx-x^r+(1-r) \quad (x>0),$$

其中 $r$ 为有理数，且 $0<r<1$。

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（Ⅰ）

求 $f(x)$ 的最小值。

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（Ⅱ）

试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设 $a_1 \ge 0$，$a_2 \ge 0$，$b_1$，$b_2$ 为正有理数，若

$$b_1+b_2=1,$$

则

$$a_1^{b_1}a_2^{b_2} \le a_1b_1 + a_2b_2.$$

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（Ⅲ）

请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

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注： 当 $\alpha$ 为正有理数时，有求导公式

$$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}.$$

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解析

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（Ⅰ）求 $f(x)$ 的最小值

$$f(x) = rx - x^r + (1-r), \quad x>0,\; 0<r<1$$

求导：

$$f'(x) = r - r x^{r-1} = r(1 - x^{r-1})$$

由于 $00$。令 $f’(x)=0$ 得 $x^{r-1}=1$，即 $x=1$。

• 当 $01$，$1-x^{r-1}<0$，$f’(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1$ 时，$x^{r-1}<1$，$1-x^{r-1}>0$，$f’(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值：

$$f(1) = r\cdot 1 - 1^r + (1-r) = r - 1 + 1 - r = 0$$

即 $f(x) \geqslant 0$ 对一切 $x>0$ 成立，当且仅当 $x=1$ 时取等号。

等价地：

$$\boxed{x^r \leqslant rx + (1-r)}\tag{1}$$

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（Ⅱ）证明 $n=2$ 时的加权 AM–GM 不等式

由 (1) 式，取 $r = b_1$，则 $1-r = b_2$。

（1）若 $a_1 = a_2 = 0$，不等式显然成立（$0 \leqslant 0$）。

（2）若 $a_1=0, a_2>0$：左端 $0^{b_1} a_2^{b_2} = 0$（$b_1>0$），右端 $b_1\cdot 0+b_2 a_2=b_2 a_2 \geqslant 0$，成立。同理 $a_1>0, a_2=0$ 亦成立。

（3）若 $a_1,a_2>0$：在不等式 (1) 中令 $x = \dfrac{a_1}{a_2}$，得

$$\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{b_1} \leqslant b_1\cdot\frac{a_1}{a_2} + b_2$$

两边同乘 $a_2$：

$$a_2\cdot a_1^{b_1} \cdot a_2^{-b_1} \leqslant b_1 a_1 + b_2 a_2$$ $$a_1^{b_1} \cdot a_2^{1-b_1} \leqslant a_1 b_1 + a_2 b_2$$

由 $b_1+b_2=1$ 知 $1-b_1=b_2$，故：

$$\boxed{a_1^{b_1} a_2^{b_2} \leqslant a_1 b_1 + a_2 b_2}$$

等号成立条件：由 (1) 式取等条件 $x=1$ 即 $\dfrac{a_1}{a_2}=1$，得 $a_1=a_2$。

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（Ⅲ）推广到 $n$ 元并数学归纳法证明

推广命题：

设 $a1,a_2,\ldots,a_n \geqslant 0$，$b_1,b_2,\ldots,b_n$ 为正有理数，若 $\displaystyle\sum{i=1}^{n} b_i = 1$，则

$$\boxed{\prod_{i=1}^{n} a_i^{b_i} \leqslant \sum_{i=1}^{n} a_i b_i}$$

即加权算术—几何平均不等式。

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数学归纳法证明：

（i）奠基： $n=1$ 时显然成立（$a_1^{1} = a_1\cdot 1$）。$n=2$ 时（Ⅱ）已证。

（ii）归纳递推： 假设 $n=k\;(k \geqslant 2)$ 时命题成立，证明 $n=k+1$ 时命题也成立。

若存在某个 $a_i = 0$，则左端 $=0$，右端 $\geqslant 0$，命题显然成立。下设所有 $a_i > 0$。

令 $B = \displaystyle\sum{i=1}^{k} b_i$，则 $0<B<1$ 且 $b{k+1} = 1-B$。

定义 $bi’ = \dfrac{b_i}{B}\;(i=1,2,\ldots,k)$，则 $\displaystyle\sum{i=1}^{k} b_i’ = 1$。

由归纳假设：

$$\prod_{i=1}^{k} a_i^{b_i'} \leqslant \sum_{i=1}^{k} a_i b_i'$$

于是：

$$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{k+1} a_i^{b_i} &= \left(\prod_{i=1}^{k} a_i^{B b_i'} \right) \cdot a_{k+1}^{b_{k+1}} \\[4pt] &= \left(\prod_{i=1}^{k} a_i^{b_i'} \right)^{\!B} \cdot a_{k+1}^{1-B} \\[4pt] &\leqslant \left(\sum_{i=1}^{k} a_i b_i' \right)^{\!B} \!\cdot a_{k+1}^{1-B} \end{aligned}$$

对 $A1 = \sum{i=1}^{k} ai b_i’$ 和 $A_2 = a{k+1}$ 应用（Ⅱ）的结论（权重分别为 $B$ 与 $1-B$）：

$$A_1^{B} \cdot A_2^{1-B} \leqslant B A_1 + (1-B) A_2$$

代入得：

$$\begin{aligned} \prod_{i=1}^{k+1} a_i^{b_i} &\leqslant B \sum_{i=1}^{k} a_i b_i' + (1-B) a_{k+1} \\[4pt] &= \sum_{i=1}^{k} a_i \cdot (B b_i') + b_{k+1} a_{k+1} \\[4pt] &= \sum_{i=1}^{k+1} a_i b_i \end{aligned}$$

即 $n=k+1$ 时命题成立。

（iii）结论： 由数学归纳法，命题对任意正整数 $n$ 成立。

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答案

（Ⅰ）$f(x)$ 的最小值为 $0$，在 $x=1$ 处取得。

（Ⅱ）证明见解析。

（Ⅲ）推广命题：设 $a_i \geqslant 0$，$b_i$ 为正有理数且 $\sum b_i = 1$，则 $\prod a_i^{b_i} \leqslant \sum a_i b_i$（加权 AM–GM 不等式），证明见解析。