2003高考数学压轴题目

2005高考数学压轴题目

题目

2005高考数学压轴题目

已知函数

$$f(x) = \frac{4x^2 - 7}{2 - x}, \quad x \in [0, 1]$$

(1) 求函数 ( f(x) ) 的单调区间和值域；

(2) 设 ( a \geq 1 )，函数

$$g(x) = x^3 - 3a^2 x - 2a, \quad x \in [0, 1]$$

若对任意 ( x \in [0, 1] )，总存在 ( x_0 \in [0, 1] )，使得 ( g(x_0) = f(x) ) 成立，求 ( a ) 的取值范围。

题解

(1) 求函数 ( f(x) ) 的单调区间和值域：

$$f(x) = \frac{4x^2 - 7}{2 - x} = \frac{4x^2 - 16 + 9}{2 - x} = -4(x+2) -\frac{9}{x - 2}$$

此时求 $f(x)$ 的倒数：

$$f'(x) = -4 + \frac{9}{(x - 2)^2} = \frac{-4(x-2)^2 + 9}{(x - 2)^2} = \frac{-(2x-1)(2x-7)}{(x - 2)^2}$$

此时由于 $x \in [0,1]$ 可知当满足 $x \in [0,\dfrac{1}{2}]$ 时，$f’(x) \le 0$，当满足 $x \in [\dfrac{1}{2},1]$ 时，$f’(x) \ge 0$，因此我们可以知道如下：

• 当 $x \in [0, \dfrac{1}{2}]$ 时，$f(x)$ 递减，此时 $f(x)$ 的取值范围为 $[-4,-\dfrac{7}{2}]$;
• 当 $x \in [\dfrac{1}{2},1]$ 时，$f(x)$ 递增，此时 $f(x)$ 的取值范围为 $[-4,-3]$;
• 综上可知由于 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 为连续函数，此时 $f(x)$ 的值域为 $[-4,-3]$;

(2) 求 ( a ) 的取值范围：

此时求 $g(x)$ 的导数可以得到：

$$g'(x) = 3x^2 -3a^2 = 3(x-a)(x+a)$$

由于 $a \ge 1$，根据导数结果可知：

• 当满足 $x \in[-\infty,a]$ 时，此时 $g’(x) \ge 0$，此时 $g(x)$ 在该区间上为递增函数；
• 当满足 $x \in[-a,a]$ 时，此时 $g’(x) \le 0$，此时 $g(x)$ 在该区间上为递减函数；
• 当满足 $x \in[a,+\infty]$ 时，此时 $g’(x) \ge 0$，此时 $g(x)$ 在该区间上为递增函数；

由于 $a \ge 1$，此时区间 $[0,1] \subset [-a,a]$，因此 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上递减，此时 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 的上最大值为 $g(0)$，最小值为 $g(1)$, 此时 $g(x)$ 的值域为 $[g(1),g(0)]$，我们代入函数即值域为 $[1-5a,-2a]$。题目要求满足对任意 ( x \in [0, 1] )，总存在 ( x_0 \in [0, 1] )，使得 ( g(x_0) = f(x) ) 成立，由于 $f(x),g(x)$ 均为连续函数，即需要满足 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 的值域为 $g(x)$ 的值域的子集，需要满足 $[-4,-3] \subseteq [1-5a,-2a]$，因此我们可以得到如下不等式：

$$\left\{ \begin{aligned} a &\ge 1 \\ 1-5a &\le -4 \\ -2a &\ge -3 \end{aligned} \right.$$

上述不等式求解即可得到答案：

$$\boxed{1 \le a \le \dfrac{3}{2}}$$

总结

感觉这个题目确实不需要太多技巧，只需要对函数的性质熟练掌握即可。$2004$ 年参加高考已经过去二十多年了，做做数学题目锻炼一下思维，感觉非常放松和有成就感，只当做是一种休闲娱乐的方式也挺好，准备把近 $20$ 年的高考数学题目全部做一遍。用高等数学来做初等数学，感觉确实是降维打击，很多不明白的公示如何来的，基本都可以自己推导出来。