2002高考数学压轴题目

2002高考数学数列压轴题

题目

已知数列 ${a_n}$ 满足

$$a_{n+1} = a_n^2 - n a_n + 1, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

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第一问

当 $a_1 = 2$ 时，求 $a_2, a_3, a_4$ 的值，并由此猜测 ${a_n}$ 的一个通项公式。

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第二问

当 $a_1 \ge 3$ 时，证明对所有的 $n \ge 1$，有

(i) $a_n \ge n + 2$

(ii) $\displaystyle \frac{1}{1 + a_1} + \frac{1}{1 + a_2} + \cdots + \frac{1}{1 + a_n} \le \frac{1}{2}$

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解答

第一问

计算：

$$a_2 = a_1^2 - 1 \cdot a_1 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$$ $$a_3 = a_2^2 - 2 \cdot a_2 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$$ $$a_4 = a_3^2 - 3 \cdot a_3 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$$

猜测通项公式：

$$a_n = n + 1$$

验证：若 $a_n = n + 1$，则

$$a_{n+1} = (n+1)^2 - n(n+1) + 1 = n^2 + 2n + 1 - n^2 - n + 1 = n + 2$$

与猜测 $a_{n+1} = n + 2$ 一致。

因此：

$$\boxed{a_2 = 3,\quad a_3 = 4,\quad a_4 = 5,\quad a_n = n + 1}$$

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第二问

(i) 证明 $a_n \ge n + 2$

用数学归纳法。

$n = 1$：由条件 $a_1 \ge 3 = 1 + 2$，成立。

假设 $a_k \ge k + 2$，要证 $a_{k+1} \ge k + 3$。

由递推式：

$$a_{k+1} = a_k^2 - k a_k + 1$$

令 $t = a_k \ge k + 2$，考虑函数 $g(t) = t^2 - k t + 1$，开口向上，对称轴 $t = \frac{k}{2} \le k + 2$，故在 $[k+2, +\infty)$ 上单调递增。

最小值在 $t = k + 2$ 处：

$$g(k+2) = (k+2)^2 - k(k+2) + 1 = k^2 + 4k + 4 - k^2 - 2k + 1 = 2k + 5$$

因为 $2k + 5 \ge k + 3$（即 $k + 2 \ge 0$，显然成立），所以

$$a_{k+1} \ge 2k + 5 \ge k + 3$$

归纳完成，故

$$\boxed{a_n \ge n + 2}$$

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(ii) 证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + a_k} \le \frac12$

由 (i) 知 $a_k \ge k + 2$，但这只能得到 $\frac{1}{1+a_k} \le \frac{1}{k+3}$，求和后发散到无穷，因此需要更强的下界。

先证一个引理：对 $k \ge 2$，有 $1 + a_{k+1} \ge 2(1 + a_k)$。

由递推式：

$$a_{k+1} + 1 = a_k^2 - k a_k + 2$$

根据 (i) 证明的结论可知 $a_k \ge k + 2$

$$a_{k + 1} + 1 = a_k^2 - k a_k + 2 = a_k(a_k-k) + 2 \ge 2a_k + 2$$ $$\Rightarrow \quad a_{k+1} + 1 \ge 2(a_{k} + 1)$$

再处理首项：$a_1 \ge 3$，则 $1 + a_1 \ge 4$，$\frac{1}{1+a_1} \le \frac14$。

对于 $k \ge 2$，反复使用引理：

$$1 + a_k \ge 2(1 + a_{k-1}) \ge 2^2(1 + a_{k-2}) \ge \cdots \ge 2^{k-1}(1 + a_1)$$

此时可知：

$$\frac{1}{1+a_k} \le \dfrac{1}{2^{k-1}(1+a_1)} = (\dfrac{1}{2})^{k-1}\dfrac{1}{1+a_1} \le (\dfrac{1}{2})^{k-1}\dfrac{1}{4}$$

我们将上述不等式代入可以得到如下：

$$\frac{1}{1+a_1} + \frac{1}{1+a_2} + \cdots + \frac{1}{1+a_n} \le \dfrac{1}{4} +(\dfrac{1}{2}) \times \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2})^2 \times \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2})^3 \times \dfrac{1}{4} + (\dfrac{1}{2})^{n-1} \times \dfrac{1}{4} \\ = \dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{2})^{k-1}$$

根据等差数列求和公示可知：

$$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + a_k} \le \dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{n} (\dfrac{1}{2})^{k-1} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n}}{1-{\dfrac{1}{2}}} \le \dfrac{1}{4}\times 2 = \dfrac{1}{2}$$

原结论即得到证明：

$$\boxed{\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + a_k} \le \frac12}$$

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总结：第一问通过直接计算猜测通项公式；第二问先用归纳法证明 $an \ge n+2$； 第三问还是有一些难度，需要通过一个假设，将其上限范围进行缩小，再通过递推得到更强的 $1 + a{k+1} \ge 2(1 + a_k)$（$k \ge 2$），从而将求和放缩为等比级数，最终证得上界 $\frac12$。