2024高考数学压轴题目
2024年高考数学压轴题题解
总体来说最后一题倒是用不了太多高级的数学知识，主要还是以技巧为主，需要一点点小技巧
题目
- 设 $m$ 为正整数,数列 $a1,a_2,a_3,\cdots,a{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列,若从中删去两项 $ai$ 和 $a_j (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组,且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列,则称数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a{4m+2}$ 是 $(i,j)$ -可分数列.
- $(1)$ 写出所有的 $(i,j)$，$1 \le i < j \le 6$，使数列$a1,a_2,a_3,\cdots,a{6}$是 $(i,j)$-可分数列；
- $(2)$ 当 $m\ge 3$ 时，证明:数列$a1,a_2,a_3,\cdots,a{4m+2}$ 是 $(2,13)$ -可分数列；
- (3)从 $1,2,.,4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i
题解
根据题意可以知，当 $(i,j)$ 为 $(1,2),(5,6), (1,6)$ 时，此时剩余的 $4$ 个元素为等差数列，公差为 $a_2-a_1$;
根据题意可以知，数列$a1,a_2,a_3,\cdots,a{4m+2}$ 去掉 $a2,a{13}$ 后，可分为两部分 $(a1,a_3,\cdots,a{12},a{14}),(a{15},a{16},\cdots,a{4m+2})$, 已知 $(a{15},a{16},\cdots,a{4m+2})$ 按照相邻的 $4$ 个元素划分为一组，每一组均为等差数列，此时 $(a_1,a_3,\cdots,a{12},a{14})$ 可划分为 $(a_1,a_4,a_7,a{10}),(a5,a_8,a{11},a{14}),(a_3,a_6,a_9,a{12})$，每组均为等差数列，综上可证，数列是 $(2,13)$-可分数列；
根据题意可知当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 或 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$ 时，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；
当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$，此时数列被分为 $3$ 部分，分别为 $(a1,a_2,\cdots,a{4l}),(a{4l+2},a{4l+3},\cdots,a{4r+1}),(a{4r+3},a{4r+4},\cdots,4{4m+2})$ ,此时可以知道数列 $(a1,a_2,\cdots,a{4l})$ 一共有 $4l$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $l$ 组，每组均为等差数列； $(a{4l+2},a{4l+3},\cdots,a{4r+1})$ 一共有 $4(r-l)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $r-l$ 组，每组均为等差数列； $(a{4r+3},a{4r+4},\cdots,4{4m+2})$ 一共有 $4(m-r)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $m-r$ 组，每组均为等差数列，综上可知当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；
当满足 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$，此时数列被分为 $3$ 部分，分别为 $(a1,a_2,\cdots,a{4l}),(a{4l+1},a{4l+3},\cdots,a{4r},a{4r+2}),(a{4r+3},a{4r+4},\cdots,4{4m+2})$ ,此时可以知道数列 $(a_1,a_2,\cdots,a{4l})$ 一共有 $4l$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $l$ 组，每组均为等差数列； $(a{4r+3},a{4r+4},\cdots,4{4m+2})$ 一共有 $4(m-r)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $m-r$ 组，每组均为等差数列；此时只需证明 $(a{4l+1},a{4l+3},\cdots,a{4r},a{4r+2})$ 可被分成 $4$ 个一组的等差数列即可。我们将数列 $(a{4l+1},a{4l+2},\cdots,a{4r+1},a_{4r+2})$ 一共有 $4(r-l)+2$ 个元素按照每行 $r-l$ 个元素进行展开如下：
此时我们去掉 $a{4l+2},a{4r+1}$ 后，剩余的元素中每列刚好为 $4$ 个元素，此时每列中剩余的元素刚好可以组成为等差数列。
此时每列中剩余的元素按列分组为: $(a{4l+1},a{3l+r+1},a{2l+2r+1},a{l+3r+1}),(a{3l+r+2},a{2l+2r+2},a{l+3r+2},a{4r+2}),(a{4l+3},a{3l+r+3},a{2l+2r+3},a{l+3r+3}),\cdots,(a{3l+r},a{2l+2r},a{l+3r},a{4r})$,每组均为等差数列，公差均为 $a_r -a_l$。综上可知当满足 $i = 4l+2,j = 4r+1,l + 1 < r$，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；
综上可知，当满足$i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 或 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$ 时，此时数列是 $(i,j)$-可分数列。
- 此时从 $1,2,\cdots,4m+2$ 中任选两个数满足 $(i,j)$ 的方案数即为组合数 $C = \binom{4m+2}{2} = \dfrac{(4m+2)\times(4m+1)}{2} = (2m+1) \times (4m + 1)$.
- 当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 时，此时 $i \in(0,m), j \in(i,m)$, 此时选择 $(i,j)$ 的方案数即为 $C_1 = (m + 1) + m + (m-1) + \cdots + 1 = \dfrac{(m + 1) \times (m + 2)}{2}$;
- 当满足 $i = 4l+2,j = 4r+1,l + 1 < r$ 时，此时 $i \in(0,m), j \in(i + 2,m)$, 此时选择 $(i,j)$ 的方案数即为 $C_2 = (m -1) + (m-2) + (m-3) + \cdots + 1 = \dfrac{(m - 1) \times m}{2}$;
- 此时可以知道任选两个数使的数列可分的概率 $P$ 一定满足 $P \ge \dfrac{C_1+C_2}{C} = \dfrac{\dfrac{(m + 1) \times (m + 2)}{2} + \dfrac{(m - 1) \times m}{2}}{(2m+1) \times (4m + 1)} = \dfrac{m^2 + m + 1}{8m^2+6m+1}$， 此时只需要证明 $\dfrac{m^2 + m + 1}{8m^2+6m+1} > \dfrac{1}{8}$，则题目得证。此时我们不等式进行转换可以得到 $8m^2 + 8m + 8 > 8m^2+ 6m + 1$, 此时可以得到 $2m + 7 > 0$ ，根据题意可以知道 $m > 0$ 此时 $2m+7 > 0$ 一定成立，从而上诉不等式一定成立，即一定满足 $P \ge \dfrac{C_1+C_2}{C} > \dfrac{1}{8}$，题目得证。
总结
题目比较典型得数列，但是没有用到比较高级得数学知识，比如微分积分、极限等一些高级一些得数学知识。但是确实需要一些变换一桥和观察能力，前 $2$ 问比较简单，第 $3$ 问有难度，跟当年 $2004$ 年得高考压轴题目没法比。