2013年高考压轴题

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📝 全国新课标I卷 · 理科数学 第21题

这道题考察的是函数、导数及其综合应用，尤其是利用导数证明不等式。

设函数 ( f(x) = ae^x \ln x + \frac{be^{x-1}}{x} )，曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程为 ( y = e(x-1) + 2 )。
(Ⅰ) 求 ( a, b )；
(Ⅱ) 证明：( f(x) > 1 )。

解答

1. 对函数 $f(x)$ 求导可知：$f’(x) = ae^x \dfrac{1}{x} + ae^x\ln x + be^{x -1} \times (-\dfrac{1}{x^2}) + be^{x - 1} \times \dfrac{1}{x}$, $f(1) = b$, $f’(1) = ae$, 因此我们可以知道在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为： $y = ae(x - 1) + b$，因此可以求得： $a = 1, b = 2$；
2. 根据上述结论可知 $f(x) = e^x \ln x + \dfrac{2e^{x-1}}{x} = e^x(\ln x + \dfrac{2}{ex})$

📝 湖北卷 · 理科数学 压轴题

在平面直角坐标系 ( xOy ) 中，点 ( M ) 到点 ( P(1, 0) ) 的距离比它到 ( y ) 轴的距离多 1。记点 ( M ) 的轨迹为 ( C )。
(Ⅰ) 求轨迹 ( C ) 的方程；
(Ⅱ) 设斜率为 ( k ) 的直线 ( l ) 过定点 ( P(-2, 1) )，求直线 ( l ) 与轨迹 ( C ) 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 ( k ) 的相应取值范围。

答案参考：
(Ⅰ) 轨迹C的方程为 ( y^2 = \begin{cases} 4x, & x \geq 0 \ 0, & x < 0 \end{cases} )。
(Ⅱ) 根据分类讨论，当 ( k \in (-\infty, -1) \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right) \cup {0} ) 时，有一个公共点；当 ( k \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) \cup \left[-1, \frac{1}{2}\right) ) 时，有两个公共点；当 ( k \in \left(-1, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right) ) 时，有三个公共点。

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参考答案与解析

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