2003高考数学压轴题目

依稀记得 2003 年高考难度超过，一大批人不及格。不过最后一题如果用大学的知识来看反而非常简单。

题目

22. 设 ${a_n}$ 是集合 ${2^s +2^t |0 \le s < t\ 且 \ s,t \in Z}$ 中所有的数从小到大排列成的数列,即 $a_1=3,a_2=5,a_3=6,a_4= 9,a_5= 10,a_6= 12, \cdots$ 将数列 ${a_n}$ 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:
    $$
    3 \
    5 \quad 6 \
    9 \quad 10 \quad 12 \

• \quad -\quad - \quad -\
  \cdots
  $$

• 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;

• 求 $a_{100}$;

• 设 ${b_n}$ 是集合:

• $$
  {2^r +2^s +2^t|0 \le r<s<t且r,s,t \in Z}
  $$

  中所有的数从小到大排列成的数列，已知 $b_k = 1160$,求 $k$；

题解

1. 根据规律可以知道第 $i$ 的数分为 $(2^0 + 2^i,2^1+2^i,\cdots,2^{i-1} + 2^i)$, 因此第四行与第五行的数分为为：
   $$
   (17,18,20,24)\
   (33,34,36,40,48)
   $$

2. 根据规律可以知道第 $i$ 行的元素有 $i$ 个，此时求不等式 $\dfrac{i(i+1)}{2} < 100 \le \dfrac{(i+1)(i+2)}{2}$, 求解可得 $i = 13$ , 此时 $a_{100}$ 属于第 $14$ 行第 $9$ 列，此时 $a_{100} = 2^{14} + 2^8 = 16540$ ;

3. 根据题意可以知道，对于 $b_n$ 来说，即等于二进制位中选择 $3$ 个不重复得位置 $r,s,t$ 将这些位置置为 $1$ 即可，此时可以知道 $2^r + 2^s+2^t = 1160$，求解可得 $r = 3, s = 7, t = 10$，此时我们只需要统计出所有小于等 $1160$ 数列元素数目 $k-1$ 即可。假设给定的 $r’,s’,t’$ 满足 $2^{r’} + 2^{s’}+2^{t’} < 2^3 + 2^7+2^{10}$，经分析可以知道有以下三种情况：

   • $0 \le r’< s’< t’ < 10$，此时即相当于在 $10$ 个不同的数中选择 $3$ 个，此时一共有 $C_1 = \binom{10}{3}$ 个;

   • $0 \le r’< s’<7, t’ = 10$，此时即相当于在 $7$ 个不同的数中选择 $2$ 个，此时一共有 $C_2 = \binom{7}{2}$ 个;

   • $0 \le r’< 3, S’ = 7, t’ = 10$，此时即相当于在 $4$ 个不同的数中选择 $1$ 个，此时一共有 $C_3 = \binom{3}{1}$ 个;

   • 因此可以知道 $k = C_1 + C_2 +C_3 + 1 = \binom{10}{3} + \binom{7}{2} + \binom{4}{1} = 265$;

总结

题目如果用大学计算机知识更简单了，本质就是找到二进制位上只有 $3$ 个 $1$ 的元素，非常简单了，当然用高中的知识貌似有一些难度。