2004年高考数学压轴题题解

当年毕业得时候，记得好像做出来第一问，今天刚好有空，把 $3$ 问全部做出来了，最后一问还是比较有特色得推理题目。

题目

22. 已知 $a>0$ ，数列${a_n}$ 满足$a_1 = a, a_{n+1} = a+ \dfrac{1}{a_n},n = 1,2,\cdots$,
    • $(1)$ 已知数列 ${a_n}$ 极限存在且大于零，求 $A=\lim_{n \to \infty} a_n $(将 $A$ 用$a$表示)；
    • $(2)$设 $b_n=a_n-A,n=1,2,…$，证明: $b_{n+1} =-\dfrac{b_n}{A(b_n + A)}$;
    • $(3)$若 $|b_n| \le \dfrac{1}{2^n}$ 对 $n=1,2,…$，都成立，求 $a$ 的取值范围；

题解

1. 根据题意可以知道当存在极限 $A$ 时，此时一定满足 $a_{n+1} = a_{n} = A$，及此时一定满足 $A = a + \dfrac{1}{A}$，经求得此时 $A = \dfrac{a\pm\sqrt{a^2 + 4}}{2}$, 根据题意可以知道 $A > 0$ , 此时只能取正根，此时 $A = \dfrac{a+\sqrt{a^2 + 4}}{2} \quad (1)$;

2. 根据题意可知 $b_n=a_n-A$，此时 $b_{n+1} = a_{n+1} -A = a + \dfrac{1}{a_n} -A = a -A + \dfrac{1}{b_n + A}$, 根据题一可得 $A = a + \dfrac{1}{A}$,变换后可得 $a -A = -\dfrac{1}{A}$，代入上式可得 $b_{n+1} = a -A + \dfrac{1}{b_n + A} = -\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{b_n + A} =-\dfrac{b_n}{A(b_n + A)} $;

3. 当 $n = 1$ 时，上述不等式满足，此时一定满足 $|b_1| \le \dfrac{1}{2}$ ,经变化可得 $|a - A| \le \dfrac{1}{2}$, 此时需要满足 $|\dfrac{1}{A}| \le \dfrac{1}{2}$, 由于 $A > 0$，此时可以得到 $A \ge 2$，此时根据题意可以知道:
   $$
   \dfrac{a+\sqrt{a^2 + 4}}{2} \ge 2\
   a^2 + 4 \ge (a - 4)^2 \
   a^2 + 4 \ge a^2 -8a + 16\
   a \ge \dfrac{3}{2} \
   $$
   此时我们可以用数学归纳法，由于当 $a \ge \dfrac{3}{2}$ 时，此时 $b_1 \le \dfrac{1}{2}$ 成立， 如果当$|b_n| \le \dfrac{1}{2^n}$ 成立，此时如果可以证明 $|b_{n+1}| \le \dfrac{1}{2^{n+1}}$ 也成立，则题意得证。此时 $|b_{n+1}| = |-\dfrac{b_n}{A(b_n + A)}| = |\dfrac{b_n}{A(b_n + A)}| \le \dfrac{1}{A(b_n + A)}\times \dfrac{1}{2^n}$ , 由于 $A \ge 2, |b_n| \le \dfrac{1}{2^n}$ , 此时 $b_n + A > 1$, 此时 $\dfrac{1}{b_n + A} < 1$, 此时 :
   $$
   |b_{n+1}| = \dfrac{1}{A(b_n + A)}\times \dfrac{1}{2^n} < \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1}{2^{n+1}}
   $$
   因此本题得证，此时 $a$ 取值范围为 $a \ge \dfrac{3}{2}$;

总结

可能现在有比较充分得时间吧，感觉题目反而感觉没有那么难，竟然很容易就做出来了。