2024年高考数学压轴题题解

总体来说最后一题倒是用不了太多高级的数学知识，主要还是以技巧为主，需要一点点小技巧

题目

19. 设 $m$ 为正整数,数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列,若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组,且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列,则称数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$ -可分数列.
    • $(1)$ 写出所有的 $(i,j)$，$1 \le i < j \le 6$，使数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{6}$是 $(i,j)$-可分数列；
    • $(2)$ 当 $m\ge 3$ 时，证明:数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$ -可分数列；
    • (3)从 $1,2,.,4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i<j)$，记数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P$，证明: $P>\dfrac{1}{8}$；

题解

1. 根据题意可以知，当 $(i,j)$ 为 $(1,2),(5,6), (1,6)$ 时，此时剩余的 $4$ 个元素为等差数列，公差为 $a_2-a_1$;

2. 根据题意可以知，数列$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{4m+2}$ 去掉 $a_2,a_{13}$ 后，可分为两部分 $(a_1,a_3,\cdots,a_{12},a_{14}),(a_{15},a_{16},\cdots,a_{4m+2})$, 已知 $(a_{15},a_{16},\cdots,a_{4m+2})$ 按照相邻的 $4$ 个元素划分为一组，每一组均为等差数列，此时 $(a_1,a_3,\cdots,a_{12},a_{14})$ 可划分为 $(a_1,a_4,a_7,a_{10}),(a_5,a_8,a_{11},a_{14}),(a_3,a_6,a_9,a_{12})$，每组均为等差数列，综上可证，数列是 $(2,13)$-可分数列；

3. 根据题意可知当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 或 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$ 时，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；

   • 当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$，此时数列被分为 $3$ 部分，分别为 $(a_1,a_2,\cdots,a_{4l}),(a_{4l+2},a_{4l+3},\cdots,a_{4r+1}),(a_{4r+3},a_{4r+4},\cdots,4_{4m+2})$ ,此时可以知道数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_{4l})$ 一共有 $4l$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $l$ 组，每组均为等差数列； $(a_{4l+2},a_{4l+3},\cdots,a_{4r+1})$ 一共有 $4(r-l)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $r-l$ 组，每组均为等差数列； $(a_{4r+3},a_{4r+4},\cdots,4_{4m+2})$ 一共有 $4(m-r)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $m-r$ 组，每组均为等差数列，综上可知当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；

   • 当满足 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$，此时数列被分为 $3$ 部分，分别为 $(a_1,a_2,\cdots,a_{4l}),(a_{4l+1},a_{4l+3},\cdots,a_{4r},a_{4r+2}),(a_{4r+3},a_{4r+4},\cdots,4_{4m+2})$ ,此时可以知道数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_{4l})$ 一共有 $4l$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $l$ 组，每组均为等差数列； $(a_{4r+3},a_{4r+4},\cdots,4_{4m+2})$ 一共有 $4(m-r)$ 个元素，按照相邻 $4$ 个元素分组可被分为 $m-r$ 组，每组均为等差数列；此时只需证明 $(a_{4l+1},a_{4l+3},\cdots,a_{4r},a_{4r+2})$ 可被分成 $4$ 个一组的等差数列即可。我们将数列 $(a_{4l+1},a_{4l+2},\cdots,a_{4r+1},a_{4r+2})$ 一共有 $4(r-l)+2$ 个元素按照每行 $r-l$ 个元素进行展开如下：
     $$
     \begin{pmatrix}
     a_{4l+1} & a_{4l+2} & \cdots & a_{3l + r} \
     a_{3l+r+1} & a_{3l+r+2} & \cdots& a_{2l + 2r} \
     a_{2l + 2r+1} & a_{2l + 2r+2} & \cdots& a_{l + 3r} \
     a_{l+3r+1} & a_{l+3r+2} & \cdots & a_{4r} \
     a_{4r+1} & a_{4r+2} &
     \end{pmatrix}
     $$
     此时我们去掉 $a_{4l+2},a_{4r+1}$ 后，剩余的元素中每列刚好为 $4$ 个元素，此时每列中剩余的元素刚好可以组成为等差数列。
     $$
     \begin{pmatrix}
     a_{4l+1} & \bcancel{a_{4l+2}} & \cdots & a_{3l + r} \
     a_{3l+r+1} & a_{3l+r+2} & \cdots& a_{2l + 2r} \
     a_{2l + 2r+1} & a_{2l + 2r+2} & \cdots& a_{l + 3r} \
     a_{l+3r+1} & a_{l+3r+2} & \cdots & a_{4r} \
     \bcancel{a_{4r+1}} & a_{4r+2} &
     \end{pmatrix}
     $$
     此时每列中剩余的元素按列分组为: $(a_{4l+1},a_{3l+r+1},a_{2l+2r+1},a_{l+3r+1}),(a_{3l+r+2},a_{2l+2r+2},a_{l+3r+2},a_{4r+2}),(a_{4l+3},a_{3l+r+3},a_{2l+2r+3},a_{l+3r+3}),\cdots,(a_{3l+r},a_{2l+2r},a_{l+3r},a_{4r})$,每组均为等差数列，公差均为 $a_r -a_l$。综上可知当满足 $i = 4l+2,j = 4r+1,l + 1 < r$，此时数列是 $(i,j)$-可分数列；

   • 综上可知，当满足$i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 或 $i = 4l+2, j = 4r + 1, l+ 1 < r$ 时，此时数列是 $(i,j)$-可分数列。

     • 此时从 $1,2,\cdots,4m+2$ 中任选两个数满足 $(i,j)$ 的方案数即为组合数 $C = \binom{4m+2}{2} = \dfrac{(4m+2)\times(4m+1)}{2} = (2m+1) \times (4m + 1)$.
     • 当满足 $i = 4l+1,j = 4r+2,l\le r$ 时，此时 $i \in(0,m), j \in(i,m)$, 此时选择 $(i,j)$ 的方案数即为 $C_1 = (m + 1) + m + (m-1) + \cdots + 1 = \dfrac{(m + 1) \times (m + 2)}{2}$;
     • 当满足 $i = 4l+2,j = 4r+1,l + 1 < r$ 时，此时 $i \in(0,m), j \in(i + 2,m)$, 此时选择 $(i,j)$ 的方案数即为 $C_2 = (m -1) + (m-2) + (m-3) + \cdots + 1 = \dfrac{(m - 1) \times m}{2}$;
     • 此时可以知道任选两个数使的数列可分的概率 $P$ 一定满足 $P \ge \dfrac{C_1+C_2}{C} = \dfrac{\dfrac{(m + 1) \times (m + 2)}{2} + \dfrac{(m - 1) \times m}{2}}{(2m+1) \times (4m + 1)} = \dfrac{m^2 + m + 1}{8m^2+6m+1}$， 此时只需要证明 $\dfrac{m^2 + m + 1}{8m^2+6m+1} > \dfrac{1}{8}$，则题目得证。此时我们不等式进行转换可以得到 $8m^2 + 8m + 8 > 8m^2+ 6m + 1$, 此时可以得到 $2m + 7 > 0$ ，根据题意可以知道 $m > 0$ 此时 $2m+7 > 0$ 一定成立，从而上诉不等式一定成立，即一定满足 $P \ge \dfrac{C_1+C_2}{C} > \dfrac{1}{8}$，题目得证。

总结

题目比较典型得数列，但是没有用到比较高级得数学知识，比如微分积分、极限等一些高级一些得数学知识。但是确实需要一些变换一桥和观察能力，前 $2$ 问比较简单，第 $3$ 问有难度，跟当年 $2004$ 年得高考压轴题目没法比。