题目

在知乎上偶尔看到一道初中数学题目，所以觉得非常有意思，专门拿出来讨论下。

解题思路

分类讨论如下：

1. 根据函数经过(0,2),(1,3)两个点,代入以后可以得到如下等式：
   $$
   c = 2 \
   a + b = 1 \
   $$
   因此上述函数可以转换为$y = ax^{2} + (1-a)x+2$
2. 当且仅当$-1\le x \le 1$时，$|ax^{2} + (1-a)x+2| = 2$仅只有一个解，根据题目中的条件我们知道$|ax^{2} + (1-a)x+2| = 2$目前已经的根为$x=0$,因此我们可以知道以下等式:
   $$
   |ax^{2} + (1-a)x+2| = 2
   $$
   在$-1\le x \le 1$有且仅有$x=0$这一个根，要么等式存在其他的根，且其它的根应当满足$x\le -1 , x \ge 1$;要么等式不存在其他的根。我们分情况来讨论，我们首先将上述等式的绝对值拆开，分解为：
   $$
   ax^{2} + (1-a)x = 0 \qquad (1) \
   ax^{2} + (1-a)x + 4 = 0 \qquad (2)
   $$

• 首先判断当$a = 0$时，上述两个方程均为一次方程，显然只有(1)式存在一个根为$x = 0$
• 当$a \neq 0$ 时，上述等式1与等式2都可能存在两个根。
• • 等式(1)一定存在两个根，分别为$x_{1} = 0,x_{2} = \frac{a-1}{a}$，要们$x_{2} = 0$,要么$x_{2} > 1 ,x_{2} < -1$.
• • 等式(2)要么不存在实数的根，要么两个根分布如下：
    $$
    x_{1} < -1 , x_{2} > 1 \
    x_{1} > 1 , x_{2} > 1 \
    x_{1} < -1 , x_{2} < -1\
    $$

3. 我们将$a$分开来讨论：

• 当$a = 0$,式(1)存在根为$x=0$,式(2)不存在根，符合题目要求；
• 当$a > 0$时：
• • 当$a = 1$时，显然式1的两个根都为0，式2不存在根，所以符合题目要求。
• • 当$a\neq 1$，首先可以判定$\frac{a-1}{a} < 1$,则此时只能满足$\frac{a-1}{a} < -1$,求出此时a的范围为$0 < a < \frac{1}{2}$.
    将上述的$a$的范围.$0< a < \frac{1}{2}$代入到式(2)中发现无解，符合题目要求，即式(1)仅有一个解在$-1\le x \le 1$，且式(2)无解。此时当$a \in (0,\frac{1}{2})$符合题目要求。
• 当$a < 0$时:
• • 当$a < 0$，首先可以判定$\frac{a-1}{a} > 1$一定成立。则此时我们就需要考虑式2的两个根的情况，我们可以知道式2的根判别式为:
    $$
    (1-a)^{2} - 16a > a
    $$
    则当$a < 0$，此时一定存在两个实根分别为，且满足：
    $$
    x_{1} = \frac{a-1+\sqrt{(a-1)^{2}-16a}}{2a} \
    x_{2} = \frac{a-1-\sqrt{(a-1)^{2}-16a}}{2a} \
    x_{1} < 0 < x_{2} \
    $$
    则此时，我们需要判定以下三种情况分别成立时，a的取值范围：
    $$
    x_{1} < x_{2} < -1 \qquad (a)\
    1 < x_{1} < x_{2} \qquad (b)\
    x_{1} < -1 , x_{2} > 1 \qquad (c)\
    $$
    根据简要的判别我们可以知道$(a),(b)$均不可能成立，因此只有$(c)$可能成立，我们求出不等式$c$中a的取值范围如下：
    $$
    \frac{-3}{2} < a < 0
    $$

4. 综上可知，$a$的取值范围为：
   $$
   a \in (\frac{-3}{2},\frac{1}{2})\cup{1}
   $$