2003高考数学压轴题目

2006年高考压轴题

题目

设数列 ${a_n}$ 的前 $n$ 项和

$$S_n = \frac{4}{3}a_n - \frac{1}{3} \times 2^{n+1} + \frac{2}{3}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

(1) 求首项 $a_1$ 与通项 $a_n$；

(2) 设

$$T_n = \frac{2^n}{S_n}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

证明：

$$\sum_{i=1}^n T_i < \frac{3}{2}.$$

解答

(1). 求首项 $a_1$ 与通项 $a_n$：

$$a_1 = S_1 =\frac{4}{3}a_1 - \frac{1}{3} \times 2^{2} + \frac{2}{3}$$ $$- \frac{1}{3}a_1 = - \frac{1}{3} \times 2^{2} + \frac{2}{3} = - \frac{2}{3}$$ $$a_1 = 2$$

接着我们尝试计算：

$$S_n = \frac{4}{3}a_n - \frac{1}{3} \times 2^{n+1} + \frac{2}{3} \tag{1}$$ $$S_{n-1} = \frac{4}{3}a_{n-1} - \frac{1}{3} \times 2^{n} + \frac{2}{3} \tag{2}$$

此时将上述两式进行相减可得：

$$a_n = S_n -S_{n-1} = \frac{4}{3}a_n - \frac{1}{3} \times 2^{n+1} - \frac{4}{3}a_{n-1} + \frac{1}{3} \times 2^{n}$$ $$\frac{1}{3} a_n = \frac{4}{3}a_{n-1} + \frac{1}{3} \times 2^{n}$$ $$a_n = 4a_{n-1} + 2^n \tag{3}$$

根据 $(3)$ 的结论可得：

$$a_n = 4a_{n-1} + 2^n = 4 (4a_{n-2} + 2^{n-1}) + 2^n = 4^2a_{n-2} + 2^n + 2^{n+1}$$

根据上式，我们观察规律可以得到如下结论：

$$a_n = 4^{n-i}a_i + \sum_{k=0}^{n-i-1}2^{n+k} \tag{4}$$

将 $a_1 = 2$ 代入到 $(4)$ 中可得

$$a_n = 4^{n-1}a_1 + \sum_{k=0}^{n-2}2^{n+k} = 2^{2n-1} + 2^n \dfrac{1-2^{n-1}}{1-2}$$ $$a_n = 2^{2n-1} + 2^{n}(2^{n-1} - 1) = 2^{2n-1} + 2^{2n-1} - 2^n = 2^{2n} - 2^{n} = 4^{n} - 2^{n}$$

此时我们再利用反证法来证明上述通项公式正确：

$$a_{n+1} = 4a_n + 2^{n+1} = 4(4^n - 2^n) + 2^{n+1} = 4^{n+1} - 2^{n+2} + 2^{n+1} = 4^{n+1} - 2^{n+1}$$

因此可知该 $a_n$ 的通项公式正确：

$$\boxed{a_1 = 2,\quad a_n = 4^{n} - 2^{n}}$$

(2). 根据 $a_n$ 的通项公式，求出 $S_n$ 的通项公式：

$$S_n = \frac{4}{3}a_n - \frac{1}{3} \times 2^{n+1} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}(4^n - 2^n) - \frac{1}{3} \times 2^{n+1} + \frac{2}{3}$$ $$S_n = \dfrac{4^{n+1}-2^{n+2}-2^{n+1} + 2}{3}$$

为了方便计算我们统一用 $2^n$ 来代替等式，此时即可得到：

$$S_n = \dfrac{4 \times 2^{2n}-6 \times 2^{n} + 2}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot (2 \times 2^{2n}-3 \times 2^{n} + 1)$$

此时即可得到：

$$T_n = \dfrac{2^n}{S_n} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2^n}{2 \times 2^{2n}-3 \times 2^{n} + 1}$$

似乎到了这里我们注意观察 $T_n$ 的每一项都有一个 $\dfrac{3}{2}$，此时：

$$\sum_{i=1}^n T_i = \dfrac{3}{2} \sum_{i=1}^n \left( \dfrac{2^i}{2 \times 2^{2i}-3 \times 2^{i} + 1} \right)$$

若要证明 $\sum{i=1}^n T_i < \dfrac{3}{2}$，此时只需要证明 $\sum{i=1}^n \left( \dfrac{2^i}{2 \times 2^{2i}-3 \times 2^{i} + 1} \right) \le 1$，则不等式即可得到证明。此时需要用到一些因式分解的技巧，我们设 $x = 2^i$，此时

$$\dfrac{2^i}{2 \times 2^{2i}-3 \times 2^{i} + 1} = \dfrac{x}{2x^2-3x + 1} = \dfrac{x}{(2x-1)(x-1)} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{2x-1}.$$

则我们可以知道上述求和公式则转换为：

$$\sum_{i=1}^n T_i = \dfrac{3}{2} \sum_{i=1}^n \left( \dfrac{2^i}{2 \times 2^{2i}-3 \times 2^{i} + 1} \right) = \dfrac{3}{2} \sum_{i=1}^n \left( \dfrac{1}{2^i-1} - \dfrac{1}{2^{i+1}-1} \right)$$ $$= \dfrac{3}{2} \left( \dfrac{1}{2^1-1} - \dfrac{1}{2^{2}-1} + \dfrac{1}{2^2-1} - \dfrac{1}{2^{3}-1} + \cdots + \dfrac{1}{2^n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}-1} \right)$$ $$= \dfrac{3}{2} \left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}-1}\right) < \dfrac{3}{2}$$

此时不等式则得到证明。

总结

这个题目是数列的经典题目，需要用到一些数列的技巧，第一问还不算特别难，第二问确实需要一些技巧才可以得到解答。