2001高考数学压轴题目

2001高考数学压轴题目

2001 年高考压轴题解答

1. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x < 0$ 时，$f(x) = 2^x$。对于任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合 $$D(x_0) = \{ d \in \mathbb{R} \mid f(x_0 + d) > f(x_0) \}.$$

(1) 若当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = 1 - x$，求 $D(-1)$；

(2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1) \leq f(x_2)$，且 $x_1 x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；

(3) 设 $f(x)$ 满足：
① 若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$；
② 当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) < f(0)$。

(i) 证明：$f(0) \geq 1$；
(ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 单调递增。

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总结：
题目不算很难，比起前几年的题目，确实不是特别难的题目，特别是第一问和第二问基本上送分题目。