2011年高考压轴题

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2011年高考考后抽题

已知函数

$$f(x) = \frac{a \ln x}{x+1} + \frac{b}{x},$$

曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x + 2y - 3 = 0$。

(1) 求 $a, b$ 的值；

(2) 如果当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时，$f(x) > \frac{\ln x}{x-1} + \frac{k}{x}$，求 $k$ 的取值范围。

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解析

(1) 由题意，$f(1) = b$。

对 $f(x)$ 求导得：

$$f'(x) = \frac{a\left(\frac{x+1}{x} - \ln x\right)}{(x+1)^2} - \frac{b}{x^2}.$$

切线斜率为 $-\frac{1}{2}$，即

$$f'(1) = \frac{a}{2} - b = -\frac{1}{2}.$$

又切线过点 $(1, b)$，代入切线方程 $1 + 2b - 3 = 0$，得

$$b = 1.$$

代入斜率式得

$$\frac{a}{2} - 1 = -\frac{1}{2},$$

所以

$$a = 1.$$

因此：

$$\boxed{a = 1, \quad b = 1}.$$

(2) 由 (1) 知 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x+1} + \dfrac{1}{x}$。当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时，

$$\frac{\ln x}{x+1} + \frac{1}{x} > \frac{\ln x}{x+1} + \frac{k}{x} \;\iff\; \frac{1}{x} > \frac{k}{x}.$$

因为 $x > 0$，两边同乘 $x$ 不等号方向不变：

$$1 > k \quad\iff\quad k < 1.$$

故 $k$ 的取值范围为：

$$\boxed{(-\infty, \, 1)}.$$

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答案

(1) $a = 1$, $b = 1$；

(2) $k \in (-\infty, 1)$.