2007年高考数学压轴题
2007年高考压轴题
题目
已知数列 中 ，
(1) 求 的通项公式；
(2) 若数列 中 ，
证明：，。
解答
(1). 求通项 ：
方法1：直接求答，观察规律即可，设 ，则:
观察上述规律，可猜想得到 的通项公式为：
然后我们将 代入上式可以计算得到：
方法2：等式左右两边进行配项，我们注意到如下：
此时我们可以用等比数列的求通项公式可知：
(2). 证明 ，。
根据题意可知 ，此时我们可以观察到，当 , 我们令 ，此时求得 ，我们可以用数学归纳法来证明 ：
当 时，；
假设当 时，, 此时
根据题意可知： 且 , 因此 ，因此一定满足 ，即可证明：
接下来我们证明 ，可以有多种方法来证明：
方法一：
首先我们观察到 的通项公式可知：
根据题意可知：此时我们只需证明: 即可，我们将上述式子代入即可得到:
由于可知 ，此时我们只需要证明不等式 成立即可：
我们补全不等式 的证明：
要证
令 ，已知已证 。
先计算常数值：
记
此时我们只需要证明当满足 时， 恒成立即可。
于是
计算分式差：
分子展开：
相减得 。
因此
因为 ，所以 ，只需证
由 知 ，故
而
于是
这样就证明了方括号内的表达式为负，从而 ，即不等式 成立。
方法二
我们根据第一问可知 ，此时我们可知 ，此时可知只需要证明如下不等式原命题即得到证明：
将 代入即可得到如下：
由于 ，我们只需证明： 成立，则 式成立，由于 ，此时不等式化简为:，此时 ，则上述不等式得到证明，因此结论成立。
方法三：
我们可以尝试用解析函数来证明，根据前面分析，我们只需要证明当满足 时，我们只需要证明下面不等式成立即可。
我们观察到 的二阶导数：
所以 是凹函数（concave）。凹函数在其定义域内，位于任何一点处的切线之下。
我们直接写出 在 处的切线：
- 切点：
- 斜率：
切线方程为：
因为 是凹函数，所以对任意 （且 ）：
即
证毕。
总结
这个题目的第二问确实是比较难的题目，特别是利用导数与微分来解决数列的题目，换个方法与思路简单太多了，只能说解析数学太强大了。